4. В тетраэдре ABCD на ребре АВ выбрана точка М так, что АM: MB = 1:4. Плоскость в проходит через точку Ми параллельна плоскости грани ACD. Найдите площадь сечения, если площадь грани ACD равна 125.

Ответ: 5

Разбираемся:

• Т.к. плоскость \(\beta\) параллельна плоскости \(ACD\), то сечение тетраэдра плоскостью \(\beta\) есть треугольник, подобный треугольнику \(ACD\).
• Пусть \(A'C'D'\) – сечение, где \(A'\) лежит на ребре \(AB\), \(C'\) – на ребре \(BC\), \(D'\) – на ребре \(BD\).
• Поскольку \(AM : MB = 1 : 4\), то \(AM : AB = 1 : 5\). Следовательно, коэффициент подобия \(k = \frac{1}{5}\).
• Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

\[\frac{S_{A'C'D'}}{S_{ACD}} = k^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}\]

• Площадь сечения равна:

\[S_{A'C'D'} = \frac{1}{25} \cdot S_{ACD} = \frac{1}{25} \cdot 125 = 5\]

Ответ: 5