Решите уравнение (2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ([7; 11]).

Конечно! Сейчас я помогу тебе решить это уравнение. 1. Решение уравнения (2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0): Сделаем замену: пусть (y = \cos x). Тогда уравнение примет вид: (2y^2 - \sqrt{3}y - 3 = 0) Решим это квадратное уравнение относительно (y). Для начала найдем дискриминант (D): (D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27) Теперь найдем корни (y_1) и (y_2): \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\] Итак, у нас есть два значения для (y): 1) (y_1 = \sqrt{3}) и 2) (y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}) Вернемся к замене (y = \cos x): 1) (\cos x = \sqrt{3}) Так как (\sqrt{3} \approx 1.732 > 1), а область значений косинуса ([-1; 1]), то это уравнение не имеет решений. 2) (\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}) Решением этого уравнения являются углы, для которых косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}). Это углы: \[x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку ([7; 11]): Отрезок ([7; 11]) находится в радианах. Переведем его в более привычный вид, используя приближение (\pi \approx 3.14159): (7 \approx 2.229 \pi) и (11 \approx 3.501 \pi) Теперь нам нужно найти значения (k), при которых корни (\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) попадают в этот отрезок. Рассмотрим положительные корни: (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) Для (k = 1): \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx 8.901\] Так как (7 < 8.901 < 11), то (x = \frac{17\pi}{6}) подходит. Для (k = 2): \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{29\pi}{6} \approx 15.184\] Так как (15.184 > 11), то этот корень не подходит. Рассмотрим отрицательные корни: (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) Для (k = 1): \[x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665\] Так как (3.665 < 7), то этот корень не подходит. Для (k = 2): \[x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{5\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \approx 9.948\] Так как (7 < 9.948 < 11), то (x = \frac{19\pi}{6}) подходит. Для (k = 3): \[x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 3 = -\frac{5\pi}{6} + \frac{36\pi}{6} = \frac{31\pi}{6} \approx 16.231\] Так как (16.231 > 11), то этот корень не подходит. Таким образом, корни, принадлежащие отрезку ([7; 11]), это: \[x = \frac{17\pi}{6}, \quad x = \frac{19\pi}{6}\] Ответ: 1) Решение уравнения: \[x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] 2) Корни, принадлежащие отрезку ([7; 11]): \[\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}\]