Решите уравнение $$2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0$$ и найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[7; 11]$$.

Разберем решение по шагам: 1. Решение уравнения $$2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0$$: Введем замену: $$t = \cos x$$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0$$ Решим это квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант $$D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27$$ Тогда корни уравнения: $$t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$ $$t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Вернемся к замене $$t = \cos x$$. а) $$\cos x = \sqrt{3}$$. Так как $$|cos x| \le 1$$, то уравнение не имеет решений. б) $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Это табличное значение, и решения этого уравнения имеют вид: $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку $$[7; 11]$$: У нас есть корни вида $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$. Так как $$\pi \approx 3.14$$, то $$\frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62$$. Нам нужен отрезок $$[7; 11]$$. Заметим, что $$2\pi \approx 6.28$$, $$3\pi \approx 9.42$$, $$4\pi \approx 12.56$$. Рассмотрим корни $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$: * При $$k = 1$$: $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.14}{6} \approx 8.90$$. Этот корень попадает в отрезок $$[7; 11]$$. * При $$k = 2$$: $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx \frac{29 \cdot 3.14}{6} \approx 15.18$$. Этот корень не попадает в отрезок $$[7; 11]$$. Рассмотрим корни $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$: * При $$k = 1$$: $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.14}{6} \approx 3.66$$. Этот корень не попадает в отрезок $$[7; 11]$$. * При $$k = 2$$: $$x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \cdot 3.14}{6} \approx 9.95$$. Этот корень попадает в отрезок $$[7; 11]$$. * При $$k = 3$$: $$x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6} \approx \frac{31 \cdot 3.14}{6} \approx 16.24$$. Этот корень не попадает в отрезок $$[7; 11]$$. Таким образом, в заданный отрезок попадают корни $$\frac{17\pi}{6}$$ и $$\frac{19\pi}{6}$$. Ответ: $$\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$$