Решите уравнение: 1) (2 \cos^2 x \sin x + \sin x = 1), найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку ([-\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}]). 2) \(\cos \frac{\pi(x+1)}{2} = -1\), найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \([12; 14]\)

Решение: 1) (2 \cos^2 x \sin x + \sin x = 1) Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): (2(1 - \sin^2 x) \sin x + \sin x = 1) (2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sin x = 1) (-2 \sin^3 x + 3 \sin x - 1 = 0) (2 \sin^3 x - 3 \sin x + 1 = 0) Заметим, что \(\sin x = 1\) является корнем этого уравнения. Разделим многочлен \(2 \sin^3 x - 3 \sin x + 1\) на \((\sin x - 1)\): (2 \sin^3 x - 3 \sin x + 1 = (\sin x - 1)(2 \sin^2 x + 2 \sin x - 1) = 0) Тогда либо \(\sin x = 1\), либо \(2 \sin^2 x + 2 \sin x - 1 = 0\). * Если \(\sin x = 1\), то \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\). * Если \(2 \sin^2 x + 2 \sin x - 1 = 0\), то решим это квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \(\sin x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\) Тогда, \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\). * Если \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\), то (x = (-1)^n \arcsin(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\). * Если \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\), то, так как \(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366 < -1\), уравнение не имеет решений, т.к. синус не может быть меньше -1. Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}]\). * Для \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\): \(-\frac{7\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\frac{3\pi}{4}\) \(-\frac{7}{4} \le \frac{1}{2} + 2k \le -\frac{3}{4}\) \(-\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{5}{4}\) \(-\frac{9}{8} \le k \le -\frac{5}{8}\) Так как \(k \in \mathbb{Z}\), то \(k = -1\). Тогда (x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\). * Для \(x = (-1)^n \arcsin(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}) + \pi n\): Так как \(\arcsin(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}) \approx 0.375\), то для упрощения можно рассмотреть случаи \(n = -1\) и \(n = -2\). \(n = -1: x = -\arcsin(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}) - \pi \approx -3.516\) \(n = -2: x = \arcsin(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}) - 2\pi \approx -5.908\) Оба этих корня не попадают в заданный отрезок. Таким образом, корень уравнения, принадлежащий отрезку ([-\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}]\), равен \(-\frac{3\pi}{2}\). 2) \(\cos \frac{\pi(x+1)}{2} = -1\) Общее решение уравнения \(\cos t = -1\) есть \(t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\). Тогда \(\frac{\pi(x+1)}{2} = \pi + 2\pi k\) \(x + 1 = 2 + 4k\) \(x = 1 + 4k, k \in \mathbb{Z}\) Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \([12; 14]\). \(12 \le 1 + 4k \le 14\) \(11 \le 4k \le 13\) \(\frac{11}{4} \le k \le \frac{13}{4}\) \(2.75 \le k \le 3.25\) Так как \(k \in \mathbb{Z}\), то \(k = 3\). Тогда (x = 1 + 4(3) = 13\). Ответ: 1) (x = -\frac{3\pi}{2}) 2) (x = 13)