Решите уравнение 2sin x cos x + √2 cos x = 0. Запишите в ответ количество корней этого уравнения, принадлежащих отрезку [π/4, 23π/4].

Решение:

Вынесем общий множитель \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (2\sin x + \sqrt{2}) = 0 \)

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \cos x = 0 \)

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Найдем корни на отрезке \( [\frac{\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}] \):

• При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=5 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{11\pi}{2} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( n=6 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi \). \( \frac{23\pi}{4} = 5.75\pi \). \( 6.5\pi \) не входит в отрезок.

Найдено 6 корней.

1. \( 2\sin x + \sqrt{2} = 0 \)

\( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Найдем корни на отрезке \( [\frac{\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}] \):

• Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \):
• При \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( k=2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{15\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( k=3 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).

Найдено 3 корня.

• Для \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \):
• При \( k=0 \): \( x = \frac{5\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{13\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).
• При \( k=2 \): \( x = \frac{5\pi}{4} + 4\pi = \frac{21\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \le \frac{21\pi}{4} \le \frac{23\pi}{4} \) (Верно).

Найдено 3 корня.

Всего корней: \( 6 + 3 + 3 = 12 \).

Ответ: 12