Решите уравнение 2sin x cos x + √2 sin x = 0. Запишите в ответ количество корней этого уравнения, принадлежащих отрезку [-7π/4, 3π/2].

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sin{x} \) за скобки:

\( \sin{x}(2\cos{x} + \sqrt{2}) = 0 \)

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \sin{x} = 0 \)

Корни этого уравнения: \( x = \pi n \), где \( n \) — целое число.

2. \( 2\cos{x} + \sqrt{2} = 0 \)

\( 2\cos{x} = -\sqrt{2} \)

\( \cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Корни этого уравнения: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Теперь проверим, какие из корней принадлежат отрезку \( [-\frac{7\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}] \).

Для корней \( x = \pi n \):

• \( n = -1 \): \( x = -\pi \). \( -\frac{7\pi}{4} \le -\pi \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le -1\pi \le 1.5\pi \)).
• \( n = 0 \): \( x = 0 \). \( -\frac{7\pi}{4} \le 0 \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно).
• \( n = 1 \): \( x = \pi \). \( -\frac{7\pi}{4} \le \pi \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le 1\pi \le 1.5\pi \)).
• \( n = 2 \): \( x = 2\pi \). \( 2\pi \) не входит в отрезок.

Для корней \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \):

• \( k = 0 \):
• \( x = \frac{3\pi}{4} \). \( -\frac{7\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le 0.75\pi \le 1.5\pi \)).
• \( x = -\frac{3\pi}{4} \). \( -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{3\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le -0.75\pi \le 1.5\pi \)).
• \( k = 1 \):
• \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \). Не входит в отрезок.
• \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \). \( -\frac{7\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le 1.25\pi \le 1.5\pi \)).
• \( k = -1 \):
• \( x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \). \( -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \) (Верно, т.к. \( -1.75\pi \le -1.25\pi \le 1.5\pi \)).
• \( x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \). Не входит в отрезок.

Мы нашли следующие корни на отрезке \( [-\frac{7\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}] \): \( -\pi, 0, \pi, \frac{3\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4} \).

Всего 7 корней.

Ответ: 7