Решите уравнение (3х – 6)^2(х-6) = (3x-6)(x-6)^2. В ответ запишите его корни в порядке возрастания через пробелов и других разделительных знаков.

Привет! Давай разберем это уравнение вместе. Оно кажется сложным, но на самом деле решается довольно просто, если перенести все в одну сторону и вынести общий множитель.

Шаг 1: Перенесем все члены уравнения в одну сторону.

Чтобы решить уравнение, нам нужно, чтобы одна его сторона была равна нулю. Для этого перенесем правую часть уравнения влево:

\[ (3x - 6)^2 (x - 6) - (3x - 6)(x - 6)^2 = 0 \]

Шаг 2: Вынесем общий множитель за скобки.

Заметим, что в каждом слагаемом есть множители (3x - 6) и (x - 6). Мы можем вынести их за скобки. Обрати внимание, что в первом слагаемом (3x - 6) в квадрате, а во втором — в первой степени. Точно так же и с (x - 6).

Вынесем (3x - 6) в первой степени и (x - 6) в первой степени:

\[ (3x - 6)(x - 6) \big[ (3x - 6) - (x - 6) \big] = 0 \]

Шаг 3: Упростим выражение во внутренних скобках.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

\[ (3x - 6) - (x - 6) = 3x - 6 - x + 6 \]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[ 3x - x - 6 + 6 = 2x \]

Итак, наше уравнение теперь выглядит так:

\[ (3x - 6)(x - 6)(2x) = 0 \]

Шаг 4: Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. У нас три множителя:

1. \[ 3x - 6 = 0 \]
2. \[ x - 6 = 0 \]
3. \[ 2x = 0 \]

Решим каждое из этих уравнений:

1. \[ 3x = 6 \]
   \( x = \frac{6}{3} \)
   \( x = 2 \)
2. \[ x = 6 \]
3. \[ x = 0 \]

Шаг 5: Запишем корни в порядке возрастания.

Мы нашли три корня: 2, 6 и 0. Расположим их в порядке возрастания:

0, 2, 6

Ответ: 0 2 6