Решите уравнение: 5) 100^x = 1000 * (1/10)^(-1/sqrt(x));

Решение:

Преобразуем обе части уравнения к основанию 10.

1. Представим \( 100 \) как \( 10^2 \) и \( 1000 \) как \( 10^3 \): \( (10^2)^x = 10^3 \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \).
2. Упростим: \( 10^{2x} = 10^3 \cdot (10^{-1})^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \).
3. \( 10^{2x} = 10^3 \cdot 10^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \).
4. \( 10^{2x} = 10^{3 + \frac{1}{\sqrt{x}}} \).
5. Приравняем показатели степеней: \( 2x = 3 + \frac{1}{\sqrt{x}} \).
6. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2x - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \).
7. Умножим всё на \( \sqrt{x} \), чтобы избавиться от дроби (при этом \( x > 0 \)): \( 2x\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - 1 = 0 \).
8. Сделаем замену: пусть \( y = \sqrt{x} \), тогда \( x = y^2 \) и \( x\sqrt{x} = y^2 \cdot y = y^3 \). Уравнение примет вид: \( 2y^3 - 3y - 1 = 0 \).
9. Попробуем найти целочисленные корни, подставляя делители свободного члена (-1).
10. При \( y=1 \): \( 2(1)^3 - 3(1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2 \ne 0 \).
11. При \( y=-1 \): \( 2(-1)^3 - 3(-1) - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 \). Значит, \( y = -1 \) — один из корней.
12. Так как \( y = \sqrt{x} \), то \( y \) не может быть отрицательным. Поэтому \( y = -1 \) не подходит.
13. Разделим многочлен \( 2y^3 - 3y - 1 \) на \( (y+1) \) (так как \( y=-1 \) — корень, \( (y-(-1)) = (y+1) \) — множитель).

14. 2y^3 + 0y^2 - 3y - 1 | y + 1

    -(2y^3 + 2y^2)     | 2y^2 - 2y - 1

    -----------------

         -2y^2 - 3y

        -(-2y^2 - 2y)

        ---------------

              -y - 1

             -(-y - 1)

             ---------

                   0

15. Получаем квадратное уравнение \( 2y^2 - 2y - 1 = 0 \).
16. Найдём дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 \).
17. Найдём корни: \( y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2\cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \).
18. Так как \( y = \sqrt{x} \) и \( x > 0 \), то \( y > 0 \).
19. \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \). Это значение положительное.
20. \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( 1 - \sqrt{3} < 0 \), и \( y_2 < 0 \). Этот корень не подходит.
21. Теперь вернёмся к замене \( y = \sqrt{x} \). \( \sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \).
22. Возведём обе части в квадрат: \( x = \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{1^2 + 2\cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \).

Ответ: x = \( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \).