6. Решите уравнение: а) х⁴ =(5x-14)². б) (x-3)(x²+10x+25)=9(x+5);

a) Решим уравнение $$x^4 = (5x-14)^2$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x^2 = |5x-14|$$

Рассмотрим два случая:

1) Если $$5x-14 \ge 0$$, то $$x^2 = 5x-14$$

$$x^2 - 5x + 14 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31 < 0$$

В этом случае уравнение не имеет решений.

2) Если $$5x-14 < 0$$, то $$x^2 = -(5x-14)$$

$$x^2 = -5x + 14$$

$$x^2 + 5x - 14 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Проверим условие $$5x - 14 < 0$$ для обоих корней:

Для $$x_1 = 2$$: $$5(2) - 14 = 10 - 14 = -4 < 0$$ - подходит.

Для $$x_2 = -7$$: $$5(-7) - 14 = -35 - 14 = -49 < 0$$ - подходит.

б) Решим уравнение $$(x-3)(x^2+10x+25)=9(x+5)$$.

Заметим, что $$x^2+10x+25 = (x+5)^2$$

Тогда уравнение имеет вид:

$$(x-3)(x+5)^2 = 9(x+5)$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$(x-3)(x+5)^2 - 9(x+5) = 0$$

Вынесем общий множитель (x+5) за скобку:

$$(x+5)((x-3)(x+5) - 9) = 0$$

$$(x+5)(x^2+5x-3x-15 - 9) = 0$$

$$(x+5)(x^2+2x-24) = 0$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2+2x-24=0$$

$$D = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

$$x_1 = \frac{-2+ \sqrt{100}}{2} = \frac{-2+10}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-2- \sqrt{100}}{2} = \frac{-2-10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Таким образом, $$x^2+2x-24 = (x-4)(x+6)$$.

Исходное уравнение принимает вид:

$$(x+5)(x-4)(x+6) = 0$$

Отсюда следует, что корни уравнения:

$$x_1=-5$$

$$x_2=4$$

$$x_3=-6$$

Ответ: a) 2; -7. б) -5; 4; -6