Решите уравнение: a) \(\sin2x = 1\) б) \(\cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0\) в) \(\cos^2x = \cos 2x\)

Решение: a) \(\sin 2x = 1\) Общее решение уравнения \(\sin t = 1\) имеет вид \(t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Тогда \(2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) Разделим обе части уравнения на 2: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) б) \(\cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0\) Воспользуемся формулой косинуса разности: \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). Тогда уравнение можно переписать как: \(\cos(2x - x) = 0\) \(\cos x = 0\) Общее решение уравнения \(\cos x = 0\) имеет вид \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) в) \(\cos^2x = \cos 2x\) Воспользуемся формулой двойного угла: \(\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x\). Тогда уравнение можно переписать как: \(\cos^2x = \cos^2x - \sin^2x\) \(\sin^2x = 0\) \(\sin x = 0\) Общее решение уравнения \(\sin x = 0\) имеет вид \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\)