Решите уравнение (2\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 3 = 0). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ([7; 11]).

Здравствуйте, ученики! Давайте решим это уравнение вместе. 1. Решение уравнения: Уравнение имеет вид: (2\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 3 = 0). Введем замену (t = \cos x), тогда уравнение примет вид квадратного уравнения: (2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0). Найдем дискриминант (D): (D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27). Тогда корни квадратного уравнения: (t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}). (t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Вернемся к замене: а) (\cos x = \sqrt{3}) - не имеет решений, так как (\sqrt{3} > 1), а область значений косинуса от -1 до 1. б) (\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Решениями этого уравнения являются: (x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z}). 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку ([7; 11]): Приближенно, отрезок ([7; 11]) соответствует ([2\pi + 0.73; 3\pi + 0.43]) (так как (2\pi \approx 6.28) и (3\pi \approx 9.42)). Рассмотрим решение (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k): При (k = 1): (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.14}{6} \approx 8.90) (принадлежит отрезку ([7; 11])). При (k = 2): (x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx \frac{29 \cdot 3.14}{6} \approx 15.18) (не принадлежит отрезку ([7; 11])). Теперь рассмотрим решение (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k): При (k = 1): (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.14}{6} \approx 3.66) (не принадлежит отрезку ([7; 11])). При (k = 2): (x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \cdot 3.14}{6} \approx 9.95) (принадлежит отрезку ([7; 11])). При (k = 3): (x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6} \approx \frac{31 \cdot 3.14}{6} \approx 16.24) (не принадлежит отрезку ([7; 11])). Таким образом, корни, принадлежащие отрезку ([7; 11]) это (\frac{17\pi}{6}) и (\frac{19\pi}{6}). Ответ: \(\frac{17\pi}{6}; \frac{19\pi}{6}\) Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять решение уравнения!