Решите уравнение $2cos^2x - \sqrt{3}cosx - 3 = 0$. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[7;11]$.

Разберем решение этого тригонометрического уравнения по шагам: 1. Решение уравнения: Уравнение имеет вид квадратного относительно $cosx$. Сделаем замену $t = cosx$, тогда получим: $2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ $t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Вернемся к замене $t = cosx$. Получаем два уравнения: а) $cosx = \sqrt{3}$ - не имеет решений, так как $\sqrt{3} > 1$, а значения косинуса находятся в диапазоне $[-1; 1]$. б) $cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Решением этого уравнения является: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ 2. Нахождение корней на отрезке $[7;11]$: Нам нужно найти значения $k$, при которых корни попадают в заданный отрезок. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, $7 \approx 2.23\pi$ и $11 \approx 3.5\pi$. а) Рассмотрим $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $7 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11$ $7 \le \pi(\frac{5}{6} + 2k) \le 11$ $\frac{7}{\pi} \le \frac{5}{6} + 2k \le \frac{11}{\pi}$ $2.23 \le \frac{5}{6} + 2k \le 3.5$ $2.23 - \frac{5}{6} \le 2k \le 3.5 - \frac{5}{6}$ $2.23 - 0.83 \le 2k \le 3.5 - 0.83$ $1.4 \le 2k \le 2.67$ $0.7 \le k \le 1.33$ Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, это $k = 1$. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.90$ б) Рассмотрим $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $7 \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11$ $7 \le \pi(-\frac{5}{6} + 2k) \le 11$ $\frac{7}{\pi} \le -\frac{5}{6} + 2k \le \frac{11}{\pi}$ $2.23 \le -\frac{5}{6} + 2k \le 3.5$ $2.23 + \frac{5}{6} \le 2k \le 3.5 + \frac{5}{6}$ $2.23 + 0.83 \le 2k \le 3.5 + 0.83$ $3.06 \le 2k \le 4.33$ $1.53 \le k \le 2.165$ Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, это $k = 2$. Следовательно, $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95$ Ответ: Корни уравнения на отрезке $[7; 11]$: $\frac{17\pi}{6}$ и $\frac{19\pi}{6}$.