Решите уравнение cos² x - √3 sin x cos x - 1 = 0. a) Укажите корни этого уравнения. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для решения уравнения cos² x - √3 sin x cos x - 1 = 0, преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1.

cos² x - √3 sin x cos x - (sin² x + cos² x) = 0

-sin² x - √3 sin x cos x = 0

sin² x + √3 sin x cos x = 0

sin x (sin x + √3 cos x) = 0

sin x = 0, откуда x = πn, n ∈ Z
sin x + √3 cos x = 0, откуда sin x = -√3 cos x. Разделим обе части на cos x (предполагая, что cos x ≠ 0):
tg x = -√3

x = -π/3 + πk, k ∈ Z

а) Корни уравнения: x = πn, x = -π/3 + πk, где n, k ∈ Z.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Для x = πn:

-2π ≤ πn ≤ -π/2

-2 ≤ n ≤ -1/2

n = -2, -1

x = -2π, -π

Для x = -π/3 + πk:

-2π ≤ -π/3 + πk ≤ -π/2

-2 ≤ -1/3 + k ≤ -1/2

-2 + 1/3 ≤ k ≤ -1/2 + 1/3

-5/3 ≤ k ≤ -1/6

k = -1

x = -π/3 - π = -4π/3

б) Корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2]: -2π, -π, -4π/3.

Ответ: а) x = πn, x = -π/3 + πk, n, k ∈ Z; б) -2π, -π, -4π/3