Решите уравнение cos² x - √3 sin x cos x - 1 = 0. a) Укажите корни этого уравнения. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Решим уравнение cos² x - √3 sin x cos x - 1 = 0.

Используем основное тригонометрическое тождество cos² x + sin² x = 1, чтобы заменить 1 на cos² x + sin² x:

cos² x - √3 sin x cos x - (cos² x + sin² x) = 0

cos² x - √3 sin x cos x - cos² x - sin² x = 0

- √3 sin x cos x - sin² x = 0

sin² x + √3 sin x cos x = 0

sin x (sin x + √3 cos x) = 0

Получаем два случая:

1. sin x = 0
   • x = πn, n ∈ Z
2. sin x + √3 cos x = 0
   • sin x = -√3 cos x
   • Разделим обе части уравнения на cos x (при условии, что cos x ≠ 0):
   • tg x = -√3
   • x = -π/3 + πk, k ∈ Z

a) Корни уравнения:

• x = πn, n ∈ Z
• x = -π/3 + πk, k ∈ Z

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2]:

1. x = πn
   • -2π ≤ πn ≤ -π/2
   • -2 ≤ n ≤ -1/2
   • n = -2, -1
   • x = -2π, -π
2. x = -π/3 + πk
   • -2π ≤ -π/3 + πk ≤ -π/2
   • -2 ≤ -1/3 + k ≤ -1/2
   • -2 + 1/3 ≤ k ≤ -1/2 + 1/3
   • -5/3 ≤ k ≤ -1/6
   • k = -1
   • x = -π/3 - π = -4π/3

б) Корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2]: -2π, -π, -4π/3.

Ответ: a) x = πn, n ∈ Z; x = -π/3 + πk, k ∈ Z; б) -2π, -π, -4π/3