Решите уравнение cos²x + sinx = √2sin(x + π/4). Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [-4π; -5π/2].

Привет, ребята! Сегодня мы разберем решение тригонометрического уравнения и определим, какие корни принадлежат заданному отрезку. **а) Решение уравнения:** Нам дано уравнение: \[ \cos^2 x + \sin x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \] Сначала раскроем \(\sin(x + \frac{\pi}{4})\) используя формулу синуса суммы: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \] Так как \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \] Подставим это в исходное уравнение: \[ \cos^2 x + \sin x = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \] \[ \cos^2 x + \sin x = \sin x + \cos x \] \[ \cos^2 x - \cos x = 0 \] \[ \cos x(\cos x - 1) = 0 \] Это уравнение распадается на два случая: 1) \(\cos x = 0\) Решение: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\cos x = 1\) Решение: \(x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\) **б) Определение корней, принадлежащих отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\):** 1) Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\): Подставим различные значения \(k\) и посмотрим, какие корни попадают в отрезок. - \(k = -2\): \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\). Это не входит в отрезок. - \(k = -3\): \(x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}\). Это входит в отрезок. - \(k = -4\): \(x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}\). Это входит в отрезок, так как -4π ≈ -12.56, а -7π/2 ≈ -10.99. - \(k = -5\): \(x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}\). Это не входит в отрезок, так как -9π/2 ≈ -14.13. 2) Для \(x = 2\pi n\): Подставим различные значения \(n\) и посмотрим, какие корни попадают в отрезок. - \(n = -1\): \(x = -2\pi\). Это не входит в отрезок. - \(n = -2\): \(x = -4\pi\). Это входит в отрезок. - \(n = -3\): \(x = -6\pi\). Это не входит в отрезок. Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\), это \(-4\pi, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{7\pi}{2}\). **Ответ:** а) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(x = 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\) б) **\(-4\pi; -\frac{5\pi}{2}; -\frac{7\pi}{2}\)**