Решите уравнение: \(\frac{x+21}{x^2-9} - \frac{x}{x+3} = 0\). Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения реки за 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение уравнения. Область допустимых значений: \(x^2 - 9 \ne 0\), то есть \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\).

Разложим знаменатель: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Умножим уравнение на \((x - 3)(x + 3)\):

\(x + 21 - x(x - 3) = 0\).

\(x + 21 - x^2 + 3x = 0\), откуда \(x^2 - 4x - 21 = 0\).

\((x - 7)(x + 3) = 0\), поэтому \(x = 7\) или \(x = -3\). Значение \(-3\) не входит в ОДЗ, значит, остаётся \(x = 7\).

Ответ к уравнению: \(x = 7\).

Задача о теплоходе. Пусть \(v\) — собственная скорость теплохода в км/ч. Тогда скорости по течению и против течения равны \(v + 3\) и \(v - 3\), где \(v > 3\). По условию:

\(\frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8\).

Умножим на \((v+3)(v-3)\):

\(108(v - 3) + 84(v + 3) = 8(v^2 - 9)\).

\(192v - 72 = 8v^2 - 72\), поэтому \(8v(v - 24) = 0\). Получаем \(v = 0\) или \(v = 24\). С учётом условия \(v > 3\) подходит только \(v = 24\).

Проверка: \(108/27 + 84/21 = 4 + 4 = 8\) часов.

Ответ к задаче: собственная скорость теплохода — 24 км/ч.