Решите уравнение: \(\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1\)

Для решения данного уравнения, сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель \(3-x\) можно представить как \(-(x-3)\). Тогда уравнение примет вид:

\(\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1\)

Перенесем все члены в левую часть:

\(\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{x-3} + 1 = 0\)

Упростим:

\(\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} + 1 = 0\)

Приведем к общему знаменателю \((x+3)(x-3)\):

\(\frac{4(x-3) + 4(x+3) + (x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = 0\)

Раскроем скобки:

\(\frac{4x - 12 + 4x + 12 + x^2 - 9}{(x+3)(x-3)} = 0\)

Упростим:

\(\frac{x^2 + 8x - 9}{(x+3)(x-3)} = 0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(x^2 + 8x - 9 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100\). Корни:

\(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\)

\(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9\)

Проверим, не обращают ли корни знаменатель в нуль. Знаменатель \((x+3)(x-3)\) равен нулю при \(x = -3\) и \(x = 3\). Наши корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -9\) не равны этим значениям, поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -9\)