Решите уравнение \(\frac{x-4}{x} = \frac{2x+10}{x+4}\). В ответе укажите разность между его большим и меньшим корнями.

Решим уравнение \(\frac{x-4}{x} = \frac{2x+10}{x+4}\). **1. Ограничения:** Знаменатели не должны быть равны нулю. Следовательно, \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\). **2. Избавимся от знаменателей:** Умножим обе части уравнения на \(x(x+4)\): \[(x-4)(x+4) = (2x+10)x\] **3. Раскроем скобки:** \[x^2 - 16 = 2x^2 + 10x\] **4. Перенесем все в одну сторону и упростим:** \[0 = 2x^2 - x^2 + 10x + 16\] \[0 = x^2 + 10x + 16\] **5. Решим квадратное уравнение:** Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1, b=10, c=16\). Найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 cdot 1 cdot 16 = 100 - 64 = 36\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. **6. Найдем корни:** \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8\] **7. Проверим корни на соответствие ограничениям:** Оба корня, \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -8\), удовлетворяют условиям \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\). **8. Найдем разность между большим и меньшим корнем:** Больший корень: \(-2\) Меньший корень: \(-8\) Разность: \(-2 - (-8) = -2 + 8 = 6\) **Ответ:** 6