Решите уравнение (х + 5)² = (2x + 7)².

Для решения уравнения (x + 5)² = (2x + 7)² используем формулу разности квадратов или просто раскроем скобки и приведем подобные.

Способ 1: Раскрытие скобок и приведение подобных.

1. Раскрываем скобки, используя формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$x^2 + 10x + 25 = 4x^2 + 28x + 49$$

2. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$$0 = 4x^2 - x^2 + 28x - 10x + 49 - 25$$

3. Приводим подобные члены:

$$0 = 3x^2 + 18x + 24$$

4. Делим обе части уравнения на 3:

$$0 = x^2 + 6x + 8$$

5. Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно применить теорему Виета. Нужно найти два числа, которые в сумме дают -6, а в произведении 8. Это числа -2 и -4.

$$x_1 = -2, \quad x_2 = -4$$

Способ 2: Используем формулу разности квадратов

1. Перенесем все в левую часть:

$$(x + 5)^2 - (2x + 7)^2 = 0$$

2. Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

$$((x + 5) - (2x + 7))((x + 5) + (2x + 7)) = 0$$

3. Упростим выражения в скобках:

$$(-x - 2)(3x + 12) = 0$$

4. Приравняем каждый множитель к нулю:

$$-x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad 3x + 12 = 0$$

5. Решим каждое уравнение:

$$x = -2 \quad \text{или} \quad x = -4$$

Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: x = -2, x = -4