Решите уравнение (х-2) (x²+2x + 1) = 4(x + 1).

Решение:

1. Разложим левую часть: Заметим, что x² + 2x + 1 это полный квадрат (x + 1)². Тогда уравнение примет вид: (x - 2)(x + 1)² = 4(x + 1).
2. Перенесем все в левую часть: (x - 2)(x + 1)² - 4(x + 1) = 0
3. Вынесем общий множитель (x + 1): (x + 1)[(x - 2)(x + 1) - 4] = 0
4. Раскроем скобки во второй части: (x + 1)[x² + x - 2x - 2 - 4] = 0
5. Упростим выражение во вторых скобках: (x + 1)[x² - x - 6] = 0
6. Разложим квадратный трехчлен x² - x - 6 на множители. Найдем корни уравнения x² - x - 6 = 0: D = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25. x₁ = (1 + 5)/2 = 3, x₂ = (1 - 5)/2 = -2. Значит, x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
7. Итоговое разложение: (x + 1)(x - 3)(x + 2) = 0
8. Найдем корни уравнения: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• x + 1 = 0 => x = -1
• x - 3 = 0 => x = 3
• x + 2 = 0 => x = -2

Ответ: -2, -1, 3