Решите уравнение (х-2) (x² + 8x + 16) = 7(x+4).

Решение:

1. Разложим левую часть: Заметим, что x² + 8x + 16 это полный квадрат (x + 4)². Тогда уравнение примет вид: (x - 2)(x + 4)² = 7(x + 4).
2. Перенесем все в левую часть: (x - 2)(x + 4)² - 7(x + 4) = 0
3. Вынесем общий множитель (x + 4): (x + 4)[(x - 2)(x + 4) - 7] = 0
4. Раскроем скобки во второй части: (x + 4)[x² + 4x - 2x - 8 - 7] = 0
5. Упростим выражение во вторых скобках: (x + 4)[x² + 2x - 15] = 0
6. Разложим квадратный трехчлен x² + 2x - 15 на множители. Найдем корни уравнения x² + 2x - 15 = 0: D = 2² - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64. x₁ = (-2 + 8)/2 = 3, x₂ = (-2 - 8)/2 = -5. Значит, x² + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5).
7. Итоговое разложение: (x + 4)(x - 3)(x + 5) = 0
8. Найдем корни уравнения: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• x + 4 = 0 => x = -4
• x - 3 = 0 => x = 3
• x + 5 = 0 => x = -5

Ответ: -5, -4, 3