Решите уравнение и найдите корни, принадлежащие отрезку $[8; 13]$: $$2\sin^2 x + 3\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$$

Давайте решим это тригонометрическое уравнение и найдем корни, принадлежащие заданному отрезку. 1. Решение уравнения: Пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 + 3\sqrt{2} t + 2 = 0$$ Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$ Корни: $$t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t_2 = -\sqrt{2}$ не подходит. Остается $t_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Или, более подробно: $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$ 2. Отбор корней, принадлежащих отрезку $[8; 13]$: Переведем концы отрезка в значения, кратные $\pi$, чтобы было удобнее сравнивать: $$8 \approx 2.55\pi \quad \text{и} \quad 13 \approx 4.14\pi$$ Теперь найдем, какие значения $k$ и $m$ дают корни, попадающие в этот отрезок. Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: Нужно найти $k$ такое, что $8 \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 13$. $$8 \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 13$$ $$8 + \frac{\pi}{4} \le 2\pi k \le 13 + \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{8 + \frac{\pi}{4}}{2\pi} \le k \le \frac{13 + \frac{\pi}{4}}{2\pi}$$ $$\frac{8}{2\pi} + \frac{1}{8} \le k \le \frac{13}{2\pi} + \frac{1}{8}$$ $$1.27 + 0.125 \le k \le 2.07 + 0.125$$ $$1.395 \le k \le 2.195$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 2$. $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78$$ Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$: Нужно найти $m$ такое, что $8 \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi m \le 13$. $$8 \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi m \le 13$$ $$8 - \frac{5\pi}{4} \le 2\pi m \le 13 - \frac{5\pi}{4}$$ $$\frac{8 - \frac{5\pi}{4}}{2\pi} \le m \le \frac{13 - \frac{5\pi}{4}}{2\pi}$$ $$\frac{8}{2\pi} - \frac{5}{8} \le m \le \frac{13}{2\pi} - \frac{5}{8}$$ $$1.27 - 0.625 \le m \le 2.07 - 0.625$$ $$0.645 \le m \le 1.445$$ Единственное целое значение $m$, удовлетворяющее этому неравенству, это $m = 1$. $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21$$ 3. Финальный ответ: Корни, принадлежащие отрезку $[8; 13]$: $\frac{15\pi}{4}$ и $\frac{13\pi}{4}$. Ответ: $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$