579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 2x – 9 = 0; б) 3t² – 4t – 4 = 0; B) 2z² + 7z – 6 = 0; г) 2t² + 9t + 8 = 0.

а) $$x^2 - 2x - 9 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-9) = 4 + 36 = 40$$

Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2 = -\frac{-2}{1}$$

$$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = \frac{-9}{1}$$

б) $$3t^2 - 4t - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$$

Корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{-4}{3}$$

$$t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} = \frac{-4}{3}$$

в) $$2z^2 + 7z - 6 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (7)^2 - 4(2)(-6) = 49 + 48 = 97$$

Корни: $$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$$

$$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -\frac{7}{2}$$

$$z_1 \cdot z_2 = \frac{(-7 + \sqrt{97})(-7 - \sqrt{97})}{16} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3 = \frac{-6}{2}$$

г) $$2t^2 + 9t + 8 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (9)^2 - 4(2)(8) = 81 - 64 = 17$$

Корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -\frac{9}{2}$$

$$t_1 \cdot t_2 = \frac{(-9 + \sqrt{17})(-9 - \sqrt{17})}{16} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4 = \frac{8}{2}$$

Ответ: См. решения выше.