Решите уравнение:log√3x² = log√3(9x - 20) и неравенство 3*4< 1/9

Решение:

Уравнение:

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения \( \log_{\sqrt{3}} x^2 = \log_{\sqrt{3}} (9x - 20) \).

Так как основание логарифма \( \sqrt{3} > 0 \) и \( \sqrt{3} \neq 1 \), а аргументы логарифмов должны быть положительными, имеем:

1. \( x^2 > 0 \) \(\implies\) \( x \neq 0 \).
2. \( 9x - 20 > 0 \) \(\implies\) \( 9x > 20 \) \(\implies\) \( x > \frac{20}{9} \).

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > \frac{20}{9} \).

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( x^2 = 9x - 20 \)

\( x^2 - 9x + 20 = 0 \)

Найдём корни квадратного уравнения:

\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \)

\( x_1 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5 \)

Оба корня \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 5 \) удовлетворяют условию \( x > \frac{20}{9} \) (так как \( \frac{20}{9} \approx 2.22 \)).

Неравенство:

Решим неравенство \( 3^{x+4} \le \frac{1}{9} \).

Перепишем \( \frac{1}{9} \) как степень тройки: \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \).

Неравенство принимает вид: \( 3^{x+4} \le 3^{-2} \).

Так как основание степени \( 3 > 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:

\( x+4 \le -2 \)

\( x \le -2 - 4 \)

\( x \le -6 \)

Ответ: Уравнение: \( x = 4, x = 5 \). Неравенство: \( x \le -6 \).