Решите уравнение \( \log_5(7 - x) = \log_5(3 - x) + 1 \).

Решение:

Перепишем уравнение, представив 1 как логарифм по основанию 5:

\[ 1 = \log_5 5 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \log_5(7 - x) = \log_5(3 - x) + \log_5 5 \]

Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_5(7 - x) = \log_5((3 - x) \cdot 5) \]

Приравниваем выражения под логарифмами:

\[ 7 - x = 5(3 - x) \]\[ 7 - x = 15 - 5x \]\[ 5x - x = 15 - 7 \]\[ 4x = 8 \]\[ x = \frac{8}{4} \]\[ x = 2 \]

Проверим ОДЗ (область допустимых значений):

• \( 7 - x > 0 \Rightarrow x < 7 \)
• \( 3 - x > 0 \Rightarrow x < 3 \)

Полученное значение \( x=2 \) удовлетворяет условиям \( x < 7 \) и \( x < 3 \).

Ответ: 2.