Решите уравнение: 1) log4 (3x - 2) = 3; 2) log3 (4x - 6) = log3 2+3; 3) log₂² x − 5log₂ x + 6 = 0 ; Решите неравенство: 1) log3 (4x −10) > 2; 2) log₁/₂ (2x+16)≥ −2; 3) log5(3−2x)≤1;

Решим уравнения:

1. log₄(3x - 2) = 3

   По определению логарифма:

   3x - 2 = 4³

   3x - 2 = 64

   3x = 66

   x = 22

   Проверка: 3 * 22 - 2 = 64 > 0, значит, x = 22 является решением.

   Ответ: x = 22

2. log₃(4x - 6) = log₃ 2 + 3

   log₃(4x - 6) = log₃ 2 + log₃ 3³

   log₃(4x - 6) = log₃ 2 + log₃ 27

   log₃(4x - 6) = log₃ (2 * 27)

   log₃(4x - 6) = log₃ 54

   4x - 6 = 54

   4x = 60

   x = 15

   Проверка: 4 * 15 - 6 = 54 > 0, значит, x = 15 является решением.

   Ответ: x = 15

3. log²₂ x − 5log₂ x + 6 = 0

   Пусть y = log₂ x, тогда уравнение примет вид:

   y² - 5y + 6 = 0

   Решим квадратное уравнение:

   D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

   y₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3

   y₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

   Вернемся к замене:

   log₂ x = 3 => x = 2³ = 8

   log₂ x = 2 => x = 2² = 4

   Проверка: x > 0, значит оба корня являются решениями.

   Ответ: x = 4, x = 8

Решим неравенства:

1. log₃ (4x - 10) > 2

   4x - 10 > 3²

   4x - 10 > 9

   4x > 19

   x > 19/4

   x > 4.75

   Также необходимо учесть, что 4x - 10 > 0, то есть:

   4x > 10

   x > 10/4

   x > 2.5

   Поскольку x > 4.75, условие x > 2.5 выполняется автоматически.

   Ответ: x > 4.75

2. log_1/2 (2x + 16) ≥ -2

   2x + 16 ≤ (1/2)^-2

   2x + 16 ≤ 2²

   2x + 16 ≤ 4

   2x ≤ -12

   x ≤ -6

   Также необходимо учесть, что 2x + 16 > 0:

   2x > -16

   x > -8

   Таким образом, -8 < x ≤ -6

   Ответ: -8 < x ≤ -6

3. log₅(3 - 2x) ≤ 1

   3 - 2x ≤ 5¹

   3 - 2x ≤ 5

   -2x ≤ 2

   x ≥ -1

   Также необходимо учесть, что 3 - 2x > 0:

   -2x > -3

   x < 3/2

   x < 1.5

   Таким образом, -1 ≤ x < 1.5

   Ответ: -1 ≤ x < 1.5