Решите уравнение log5 (3x+2)=1-log0,2 (6-x).

Решим уравнение log₅(3x+2) = 1 - log_0.2(6-x).

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что 0.2 = 1/5 = 5^-1, поэтому log_0.2(6-x) = log_5^-1(6-x) = -log₅(6-x).

Тогда уравнение примет вид:

log₅(3x+2) = 1 + log₅(6-x)

Перенесем все логарифмы в одну сторону:

log₅(3x+2) - log₅(6-x) = 1

Используем свойство логарифма разности: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c):

log₅((3x+2)/(6-x)) = 1

Теперь воспользуемся определением логарифма: если log_a(b) = c, то a^c = b.

В нашем случае: a = 5, b = (3x+2)/(6-x), c = 1.

Следовательно, 5¹ = (3x+2)/(6-x).

5 = (3x+2)/(6-x)

Умножим обе части уравнения на (6-x):

5(6-x) = 3x+2

30 - 5x = 3x + 2

Перенесем все члены с x в одну сторону, а числа в другую:

30 - 2 = 3x + 5x

28 = 8x

x = 28 / 8 = 7 / 2 = 3.5

Проверим, что x = 3.5 удовлетворяет исходному уравнению. Для этого подставим x = 3.5 в исходное уравнение:

log₅(3(3.5)+2) = log₅(10.5+2) = log₅(12.5)

1 - log_0.2(6-3.5) = 1 - log_0.2(2.5) = 1 - log_1/5(2.5) = 1 + log₅(2.5)

Нужно проверить, что log₅(12.5) = 1 + log₅(2.5). log₅(12.5) = log₅(5*2.5) = log₅(5) + log₅(2.5) = 1 + log₅(2.5)

Следовательно, x = 3.5 является решением исходного уравнения.

Ответ: 3.5