Решите уравнение: log3(x + 2) + log3 (x - 4) = 2

Решение:

Дано уравнение: \( \log_3(x + 2) + \log_3(x - 4) = 2 \).

1. Найдем ОДЗ: \( x + 2 > 0 \) и \( x - 4 > 0 \). Отсюда \( x > -2 \) и \( x > 4 \). Общее условие ОДЗ: \( x > 4 \).
2. Применим свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения. \( \log_3((x + 2)(x - 4)) = 2 \).
3. Перейдем к показательному уравнению: \( (x + 2)(x - 4) = 3^2 \).
4. Вычислим степень: \( 3^2 = 9 \).
5. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: \( x^2 - 4x + 2x - 8 = 9 \) \(\implies\) \( x^2 - 2x - 8 - 9 = 0 \) \(\implies\) \( x^2 - 2x - 17 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72 \).
7. Найдем корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 3\sqrt{2} \).
8. Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x > 4 \)):
• \( x_1 = 1 + 3\sqrt{2} \). Так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( 3\sqrt{2} \approx 4.242 \). \( x_1 \approx 1 + 4.242 = 5.242 \). \( 5.242 > 4 \), значит, корень подходит.
• \( x_2 = 1 - 3\sqrt{2} \approx 1 - 4.242 = -3.242 \). \( -3.242 \ngtr 4 \), значит, корень не подходит.

Ответ: x = 1 + 3\(\sqrt{2}\).