Решите уравнение: $$log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2$$

Для решения логарифмического уравнения $$log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2$$ необходимо сначала избавиться от логарифма. Используем определение логарифма: $$a = log_b(c) \Leftrightarrow b^a = c$$. В нашем случае, $$b = \sqrt{3}$$, $$a = 2$$, $$c = x^2 - 5x - 3$$.

Тогда уравнение можно переписать как:

$$(\sqrt{3})^2 = x^2 - 5x - 3$$

Упростим левую часть:

$$3 = x^2 - 5x - 3$$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 - 5x - 3 - 3 = 0$$

$$x^2 - 5x - 6 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение $$x^2 - 5x - 6 = 0$$. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Решим с помощью теоремы Виета.

Нужно найти два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна 5. Это числа 6 и -1, так как $$6 \times (-1) = -6$$ и $$6 + (-1) = 5$$.

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = 6$$

$$x_2 = -1$$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному логарифмическому уравнению. Подставим каждый из корней в выражение $$x^2 - 5x - 3$$ и убедимся, что оно положительно.

Для $$x_1 = 6$$:

$$6^2 - 5 \cdot 6 - 3 = 36 - 30 - 3 = 3 > 0$$

Для $$x_2 = -1$$:

$$(-1)^2 - 5 \cdot (-1) - 3 = 1 + 5 - 3 = 3 > 0$$

Оба корня удовлетворяют условию, так как подлогарифмическое выражение больше нуля.

Ответ: $$x_1 = 6; x_2 = -1$$