24. Решите уравнение $$sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0$$. Укажите корни, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$$.

Для решения тригонометрического уравнения $$sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0$$, разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$, предполагая, что $$cosx
eq 0$$. Получим:

$$tg^2x - 2tgx - 3 = 0$$

Введем замену $$t = tgx$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант равен:

$$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$:

1) $$tgx = 3$$, следовательно, $$x = arctg(3) + \pi n$$, где $$n$$ - целое число.

2) $$tgx = -1$$, следовательно, $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

1) Для $$x = arctg(3) + \pi n$$:

При $$n = 0$$, $$x = arctg(3)$$. Так как $$arctg(3) \approx 1.25$$, то $$x
otin \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$, потому что $$ \frac{\pi}{2} \approx 1.57$$.

При $$n = 1$$, $$x = arctg(3) + \pi \approx 1.25 + 3.14 = 4.39$$. Так как $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$ и $$2\pi \approx 6.28$$, то $$x \in \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

При $$n = 2$$, $$x = arctg(3) + 2\pi \approx 1.25 + 6.28 = 7.53$$. Так как $$2\pi \approx 6.28$$, то $$x
otin \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

2) Для $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$:

При $$k = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36$$. Так как $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$ и $$2\pi \approx 6.28$$, то $$x \in \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

При $$k = 2$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.50$$. Так как $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$ и $$2\pi \approx 6.28$$, то $$x \in \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

При $$k = 3$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.63$$. Так как $$2\pi \approx 6.28$$, то $$x
otin \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$.

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$, это $$arctg(3) + \pi$$, $$\frac{3\pi}{4}$$ и $$\frac{7\pi}{4}$$.

Ответ: $$arctg(3) + \pi$$, $$\frac{3\pi}{4}$$, $$\frac{7\pi}{4}$$