Решите уравнение 2sin²x + 3√2 sinx + 2 = 0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [8; 13].

Решение: 1. Решим уравнение: $$2\sin^2x + 3\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$$ Введем замену $t = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$$ Найдем корни: $$t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t_2 = -\sqrt{2}$ не является решением. Тогда: $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$ Или: $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$ 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку [8; 13]. Приближенно: $\pi \approx 3.14$ $$8 \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le 13$$ $$8 \le \frac{5 \cdot 3.14}{4} + 2 \cdot 3.14 k \le 13$$ $$8 \le 3.925 + 6.28k \le 13$$ $$\frac{8-3.925}{6.28} \le k \le \frac{13-3.925}{6.28}$$ $$\frac{4.075}{6.28} \le k \le \frac{9.075}{6.28}$$ $$0.648 \le k \le 1.445$$ $$k = 1$$ $$x_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 10.205$$ $$8 \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \le 13$$ $$8 \le \frac{7 \cdot 3.14}{4} + 2 \cdot 3.14 n \le 13$$ $$8 \le 5.495 + 6.28n \le 13$$ $$\frac{8-5.495}{6.28} \le n \le \frac{13-5.495}{6.28}$$ $$\frac{2.505}{6.28} \le n \le \frac{7.505}{6.28}$$ $$0.399 \le n \le 1.195$$ $$n = 1$$ $$x_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.775$$ Ответ: $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$