Решите уравнение sin(π(x+1)/2) = -1 и укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [9, 11].

Здравствуйте, ученики! Сегодня мы решим тригонометрическое уравнение и определим корни, принадлежащие заданному отрезку. **1. Решение уравнения:** Дано уравнение: \[\sin{\frac{\pi(x+1)}{2}} = -1\] Мы знаем, что \(\sin(\theta) = -1\) при \(\theta = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. Тогда: \[\frac{\pi(x+1)}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\] Разделим обе части на \(\pi\): \[\frac{x+1}{2} = \frac{3}{2} + 2k\] Умножим обе части на 2: \[x+1 = 3 + 4k\] Выразим \(x\): \[x = 3 + 4k - 1\] \[x = 2 + 4k\] Итак, решение уравнения: \[x = 2 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z}\] **2. Нахождение корней на отрезке [9, 11]:** Нам нужно найти значения \(k\), при которых \(x\) принадлежит отрезку [9, 11]. [9 \le 2 + 4k \le 11\] Вычтем 2 из всех частей неравенства: [7 \le 4k \le 9\] Разделим все части на 4: [\frac{7}{4} \le k \le \frac{9}{4}\] [1.75 \le k \le 2.25\] Поскольку \(k\) - целое число, единственное возможное значение для \(k\) это 2. Подставим \(k = 2\) в уравнение для \(x\): \[x = 2 + 4(2) = 2 + 8 = 10\] Итак, корень уравнения, принадлежащий отрезку [9, 11], это \(x = 10\). **Ответ:** \(\bf{10}\)