Решите уравнение \(\sin t = -\frac{1}{2}\)

Для решения уравнения \(\sin t = -\frac{1}{2}\), вспомним, что синус равен \(-\frac{1}{2}\) в третьей и четвертой четвертях единичной окружности. Соответствующие углы равны \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{5\pi}{6}\). Учитывая периодичность синуса, общее решение уравнения можно записать в виде: \(t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Так как в задании просят не объединять корни, оставим их в таком виде. Заметим, что \(-\frac{5\pi}{6}\) можно представить как \(\pi + \frac{\pi}{6}\), поэтому второй корень можно записать как \(t = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k\). Перепишем решения в требуемом формате: Первое решение: \(t = \pi k - \frac{\pi}{6}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Второе решение: \(t = \pi k + \frac{7\pi}{6}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Обратите внимание, что для первого решения мы взяли \(2\pi k - \frac{\pi}{6}\) и вынесли \(\pi\) за скобки, получив \(\pi(2k) - \frac{\pi}{6}\). Заменив \(2k\) на \(k\) (так как \(k\) - любое целое число), мы получили \(\pi k - \frac{\pi}{6}\). Аналогично, для второго решения мы взяли \(\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и переписали как \(\pi(1 + 2k) + \frac{\pi}{6}\). Опять же, заменив \(1 + 2k\) на \(k\) (так как \(k\) - любое целое число), мы получили \(\pi k + \frac{7\pi}{6}\). Итак, ответ: \(t = \pi k - \frac{\pi}{6}\) или \(t = \pi k + \frac{7\pi}{6}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Тогда, с учетом предложенной формы записи, правильный ответ будет: \(t = \frac{\pi}{6} + \pi k\), \(t = \frac{7\pi}{6} + \pi k\). Тогда: \(t = \pi k + \frac{\pi}{6}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). \(t = \pi k + \frac{7\pi}{6}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(t = \pi k - \frac{\pi}{6}\), \(t = \pi + \frac{\pi}{6} + 2 \pi k\)