Решите уравнение sin 2x + 2 sin(-x) + cos(-x) - 1 = 0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Решение: a) Решим уравнение: \(sin 2x + 2 sin(-x) + cos(-x) - 1 = 0\) Используем формулы: \(sin(-x) = -sin(x)\), \(cos(-x) = cos(x)\) и \(sin 2x = 2 sin x cos x\). \(2 sin x cos x - 2 sin x + cos x - 1 = 0\) Сгруппируем слагаемые: \((2 sin x cos x - 2 sin x) + (cos x - 1) = 0\) Вынесем общие множители: \(2 sin x (cos x - 1) + (cos x - 1) = 0\) \((cos x - 1)(2 sin x + 1) = 0\) Теперь рассмотрим два случая: 1) \(cos x - 1 = 0\) => \(cos x = 1\) => \(x = 2πn, n ∈ Z\) 2) \(2 sin x + 1 = 0\) => \(sin x = -\frac{1}{2}\) => \(x = -\frac{π}{6} + 2πk\) или \(x = \frac{7π}{6} + 2πk, k ∈ Z\) Итак, решение уравнения: \(x = 2πn\), \(x = -\frac{π}{6} + 2πk\), \(x = \frac{7π}{6} + 2πk, n, k ∈ Z\) б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([2π; \frac{7π}{2}]\): 1) \(x = 2πn\) \(2π ≤ 2πn ≤ \frac{7π}{2}\) \(1 ≤ n ≤ \frac{7}{4}\) => \(n = 1\). Тогда \(x = 2π\). 2) \(x = -\frac{π}{6} + 2πk\) \(2π ≤ -\frac{π}{6} + 2πk ≤ \frac{7π}{2}\) \(2 ≤ -\frac{1}{6} + 2k ≤ \frac{7}{2}\) \(\frac{13}{6} ≤ 2k ≤ \frac{22}{6}\) \(\frac{13}{12} ≤ k ≤ \frac{11}{6}\) => \(k = 2\). Тогда \(x = -\frac{π}{6} + 4π = \frac{23π}{6}\). 3) \(x = \frac{7π}{6} + 2πk\) \(2π ≤ \frac{7π}{6} + 2πk ≤ \frac{7π}{2}\) \(2 ≤ \frac{7}{6} + 2k ≤ \frac{7}{2}\) \(\frac{5}{6} ≤ 2k ≤ \frac{14}{6}\) \(\frac{5}{12} ≤ k ≤ \frac{7}{6}\) => \(k = 1\). Тогда \(x = \frac{7π}{6} + 2π = \frac{19π}{6}\). Ответ: \(2π, \frac{19π}{6}, \frac{23π}{6}\) Ответ: а) \(x = 2πn, x = -\frac{π}{6} + 2πk, x = \frac{7π}{6} + 2πk, n, k ∈ Z\); б) \(2π, \frac{19π}{6}, \frac{23π}{6}\)