Решите уравнение $x^4 = 4(x-5)^2$. В ответ запишите сумму найденных корней.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим это уравнение вместе. Нам дано уравнение: $x^4 = 4(x-5)^2$. 1. Преобразуем уравнение: $x^4 = 4(x^2 - 10x + 25)$ $x^4 = 4x^2 - 40x + 100$ $x^4 - 4x^2 + 40x - 100 = 0$ 2. Попробуем найти корни уравнения подбором. Заметим, что $x = 2$ является корнем уравнения: $(2)^4 - 4(2)^2 + 40(2) - 100 = 16 - 16 + 80 - 100 = -20$ (Не подходит) А $x = -2$: $(-2)^4 - 4(-2)^2 + 40(-2) - 100 = 16 - 16 - 80 - 100 = -180$ (Не подходит) Заметим, что $x = -5$ является корнем уравнения: $(-5)^4 - 4(-5)^2 + 40(-5) - 100 = 625 - 100 - 200 - 100 = 225$ (Не подходит) Заметим, что $x = 5$ является корнем уравнения: $(5)^4 - 4(5)^2 + 40(5) - 100 = 625 - 100 + 200 - 100 = 625 - 100 - 100 + 200 = 625 + 100 = 625 + 100 = 525$ (Не подходит) Это трудно найти рациональные корни напрямую, поэтому попробуем другую стратегию. 3. Перепишем исходное уравнение следующим образом: $x^4 = 4(x-5)^2$ $(x^2)^2 = [2(x-5)]^2$ $x^2 = \pm 2(x-5)$ 4. Рассмотрим два случая: Случай 1: $x^2 = 2(x-5)$ $x^2 = 2x - 10$ $x^2 - 2x + 10 = 0$ Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 < 0$. Корней нет. Случай 2: $x^2 = -2(x-5)$ $x^2 = -2x + 10$ $x^2 + 2x - 10 = 0$ Дискриминант: $D = (2)^2 - 4(1)(-10) = 4 + 40 = 44$ $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{2} = -1 + \sqrt{11}$ $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{11}}{2} = -1 - \sqrt{11}$ 5. Сумма корней: $x_1 + x_2 = (-1 + \sqrt{11}) + (-1 - \sqrt{11}) = -1 + \sqrt{11} - 1 - \sqrt{11} = -2$ Ответ: -2