16. Решите уравнение x² – y² = 25 в целых числах. В ответ запишите количество пар, являющихся решениями уравнения.

Пошаговое решение:

• Разложим левую часть уравнения на множители:

• Найдем все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 25:

• (1, 25)
• (-1, -25)
• (5, 5)
• (-5, -5)
• (25, 1)
• (-25, -1)

• Решим системы уравнений для каждой пары:

• \(\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 25 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = 13 \\ y = 12 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -25 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = -13 \\ y = -12 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 5 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x - y = -5 \\ x + y = -5 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = -5 \\ y = 0 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x - y = 25 \\ x + y = 1 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = 13 \\ y = -12 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x - y = -25 \\ x + y = -1 \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = -13 \\ y = 12 \end{cases}\)

• Таким образом, получаем 6 пар решений:

• (13, 12)
• (-13, -12)
• (5, 0)
• (-5, 0)
• (13, -12)
• (-13, 12)

Ответ: 6