Решите уравнение (2x−9)² = (4x-3)².

Привет! Сейчас мы решим это уравнение вместе. Вот подробное решение:

1. Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности:

Напомним формулу: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$(2x - 9)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(9) + 9^2 = 4x^2 - 36x + 81$$
$$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$$

2. Подставляем полученные выражения в уравнение:

$$4x^2 - 36x + 81 = 16x^2 - 24x + 9$$

3. Переносим все члены в одну сторону уравнения (например, в правую):

$$0 = 16x^2 - 24x + 9 - 4x^2 + 36x - 81$$

4. Упрощаем уравнение, приводя подобные члены:

$$0 = (16x^2 - 4x^2) + (-24x + 36x) + (9 - 81)$$
$$0 = 12x^2 + 12x - 72$$

5. Делим обе части уравнения на 12, чтобы упростить его:

$$0 = x^2 + x - 6$$

6. Решаем квадратное уравнение $$x^2 + x - 6 = 0$$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

*Теорема Виета*: Если $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$x^2 + bx + c = 0$$, то $$x_1 + x_2 = -b$$ и $$x_1 cdot x_2 = c$$.

В нашем случае: $$x_1 + x_2 = -1$$ и $$x_1 cdot x_2 = -6$$. Подходящие корни: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -3$$.

*Или через дискриминант*:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$
$$x_1 = \frac{-b + sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
$$x_2 = \frac{-b - sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

7. Ответ:

Корни уравнения: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -3$$.

Ответ: x = 2, x = -3