Решите уравнение $$x^4 = (x - 6)^2$$.

Решение:

1. Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: \( \sqrt{x^4} = \sqrt{(x - 6)^2} \).
2. Получим \( x^2 = |x - 6| \).
3. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( x - 6 \geq 0 \), то есть \( x \geq 6 \). В этом случае \( |x - 6| = x - 6 \). Уравнение примет вид \( x^2 = x - 6 \).
• Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 - x + 6 = 0 \).
• Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 \).
• Так как \( D < 0 \), в этом случае действительных корней нет.
• Случай 2: \( x - 6 < 0 \), то есть \( x < 6 \). В этом случае \( |x - 6| = -(x - 6) = 6 - x \). Уравнение примет вид \( x^2 = 6 - x \).
• Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 + x - 6 = 0 \).
• Найдём дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
• Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \).
• Найдём корни: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
• Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию \( x < 6 \). Оба корня \( x = 2 \) и \( x = -3 \) удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 2, x = -3.