Решите уравнение: x⁴ – 5x² + 4 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения сделаем замену переменной.

1. Введём замену: \( t = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = t^2 \).
2. Исходное уравнение примет вид квадратного относительно \( t \): \( t^2 - 5t + 4 = 0 \).
3. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · 4 = 25 - 16 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
4. Корни квадратного уравнения: \( t_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{5+3}{2} = 4 \) и \( t_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{5-3}{2} = 1 \).
5. Возвращаемся к замене: \( x^2 = t \).
6. Получаем два уравнения: \( x^2 = 4 \) и \( x^2 = 1 \).
7. Из \( x^2 = 4 \) следует \( x = ± 2 \).
8. Из \( x^2 = 1 \) следует \( x = ± 1 \).

Ответ: x = ±1, x = ±2.