6. Решите уравнение: x(x² + 1) = 8 + x.

Решим уравнение:

$$x(x^2 + 1) = 8 + x$$ $$x^3 + x = 8 + x$$

Перенесем все в левую часть:

$$x^3 + x - x - 8 = 0$$ $$x^3 - 8 = 0$$

Представим 8 как 2 в кубе:

$$x^3 - 2^3 = 0$$

Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$$

Первый корень:

$$x - 2 = 0$$ $$x = 2$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x + 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12$$

Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x = 2