Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. Решите уравнение: a) logs (x + 3) = 2 - logs (2x + 1); 2 - 6) log x 2 log3 (3x) - 1 = 0.
Ответ:
Ответ: a) x = 2; б) x = 1/9 или x = 9
Краткое пояснение: Используем свойства логарифмов для решения уравнений, приводим к общему основанию и решаем полученные алгебраические уравнения.
a) log₅(x + 3) = 2 - log₅(2x + 1)
- Перенесем все логарифмы в одну сторону: log₅(x + 3) + log₅(2x + 1) = 2
- Воспользуемся свойством логарифмов: log₅((x + 3)(2x + 1)) = 2
- Упростим уравнение: (x + 3)(2x + 1) = 5²
- Раскроем скобки: 2x² + x + 6x + 3 = 25
- Приведем к квадратному уравнению: 2x² + 7x - 22 = 0
- Решим квадратное уравнение:
Показать пошаговые вычисления
D = 7² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-22) = 49 + 176 = 225 x = (-7 ± √225) / (2 ⋅ 2) = (-7 ± 15) / 4 x₁ = (-7 + 15) / 4 = 8 / 4 = 2 x₂ = (-7 - 15) / 4 = -22 / 4 = -5.5- Проверим корни:
Показать пошаговые вычисления
Для x = 2: log₅(2 + 3) = log₅(5) = 1 2 - log₅(2 ⋅ 2 + 1) = 2 - log₅(5) = 2 - 1 = 1 Для x = -5.5: log₅(-5.5 + 3) = log₅(-2.5) - не существует, т.к. аргумент логарифма должен быть положительным.Следовательно, x = 2
б) log₃²x - 2log₃(3x) - 1 = 0- Преобразуем уравнение: log₃²x - 2(log₃3 + log₃x) - 1 = 0
- Упростим: log₃²x - 2(1 + log₃x) - 1 = 0
- log₃²x - 2 - 2log₃x - 1 = 0
- log₃²x - 2log₃x - 3 = 0
- Пусть y = log₃x: y² - 2y - 3 = 0
- Решим квадратное уравнение:
Показать пошаговые вычисления
D = (-2)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-3) = 4 + 12 = 16 y = (2 ± √16) / (2 ⋅ 1) = (2 ± 4) / 2 y₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 y₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1- Найдем x:
Показать пошаговые вычисления
log₃x = 3 => x = 3³ = 27 log₃x = -1 => x = 3⁻¹ = 1/3Следовательно, x = 1/9 или x = 9
Ответ: a) x = 2; б) x = 1/9 или x = 9
Похожие
