Решите уравнение: a) 2sin²x + 3sinx - 2 = 0; б) sin2x + cosx = 0; в) cos7x - cosx = 0.

Решим уравнения:

1. a) 2sin²x + 3sinx - 2 = 0

   Пусть sinx = t, тогда уравнение примет вид:

   $$2t^2 + 3t - 2 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = 3^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

   Вернемся к замене:

   1) sinx = 1/2

   $$x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

   2) sinx = -2 - нет решений, так как |sinx| ≤ 1

   Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

2. б) sin2x + cosx = 0

   Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx

   $$2sinxcosx + cosx = 0$$ $$cosx(2sinx + 1) = 0$$

   1) cosx = 0

   $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$$

   2) 2sinx + 1 = 0

   $$sinx = -\frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$$Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

3. в) cos7x - cosx = 0

   Воспользуемся формулой разности косинусов: cosα - cosβ = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

   $$-2sin(\frac{7x + x}{2})sin(\frac{7x - x}{2}) = 0$$ $$-2sin(4x)sin(3x) = 0$$

   1) sin(4x) = 0

   $$4x = \pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z$$

   2) sin(3x) = 0

   $$3x = \pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$$

   Ответ: $$x = \frac{\pi n}{4}, x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$$