Решение уравнений

a) $$(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$$

Введем замену переменной: $$t = x^2 + 3$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 11t + 28 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 cdot 1 cdot 28 = 121 - 112 = 9$$ $$t_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$t_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Вернемся к замене:

1. $$x^2 + 3 = 7$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$
2. $$x^2 + 3 = 4$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Ответ: $$x = -2, -1, 1, 2$$

б) $$(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$$

Введем замену переменной: $$t = x^2 - 4x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 9t + 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 9^2 - 4 cdot 1 cdot 20 = 81 - 80 = 1$$ $$t_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$t_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Вернемся к замене:

1. $$x^2 - 4x = -4$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 = 0$$ $$x = 2$$
2. $$x^2 - 4x = -5$$ $$x^2 - 4x + 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 5 = 16 - 20 = -4$$

   Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x = 2$$

в) $$(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$$

Введем замену переменной: $$t = x^2 + x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t(t - 5) = 84$$ $$t^2 - 5t - 84 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$ $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Вернемся к замене:

1. $$x^2 + x = 12$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$
2. $$x^2 + x = -7$$ $$x^2 + x + 7 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 cdot 1 cdot 7 = 1 - 28 = -27$$

   Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x = -4, 3$$