2. Решите уравнение. a) $$x^3 - 64x = 0$$; б) $$16x^3 - 32x^2 - x + 2 = 0$$. 3. Решите биквадратное уравнение: a) $$5x^4 + 7x^2 - 12 = 0$$; 5. Решите дробное рациональное уравнение: a) $$2 + \frac{8}{x-3} = \frac{4}{x}$$ 6. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км

Это задание по алгебре. Необходимо решить несколько уравнений различных типов. Решим каждое уравнение по шагам.

2. Решите уравнение.

а) $$x^3 - 64x = 0$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(x^2 - 64) = 0$$

Разложим разность квадратов:

$$x(x - 8)(x + 8) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит,

• $$x = 0$$
• $$x - 8 = 0 Rightarrow x = 8$$
• $$x + 8 = 0 Rightarrow x = -8$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 8, x_3 = -8$$

б) $$16x^3 - 32x^2 - x + 2 = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(16x^3 - 32x^2) + (-x + 2) = 0$$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$16x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$$

Вынесем $$(x - 2)$$ за скобки:

$$(x - 2)(16x^2 - 1) = 0$$

Разложим разность квадратов:

$$(x - 2)(4x - 1)(4x + 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит,

• $$x - 2 = 0 Rightarrow x = 2$$
• $$4x - 1 = 0 Rightarrow x = \frac{1}{4}$$
• $$4x + 1 = 0 Rightarrow x = -\frac{1}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = -\frac{1}{4}$$

3. Решите биквадратное уравнение:

а) $$5x^4 + 7x^2 - 12 = 0$$

Заменим $$x^2 = t$$, тогда $$x^4 = t^2$$. Получим квадратное уравнение:

$$5t^2 + 7t - 12 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 cdot 5 cdot (-12) = 49 + 240 = 289$$

Найдем корни:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 cdot 5} = \frac{-7 + 17}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 cdot 5} = \frac{-7 - 17}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 1 Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$$

2) $$x^2 = -2.4$$ - нет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -1$$

5. Решите дробное рациональное уравнение:

а) $$2 + \frac{8}{x-3} = \frac{4}{x}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$2 + \frac{8}{x-3} - \frac{4}{x} = 0$$

$$\frac{2x(x-3) + 8x - 4(x-3)}{x(x-3)} = 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2x^2 - 6x + 8x - 4x + 12}{x(x-3)} = 0$$

$$\frac{2x^2 - 2x + 12}{x(x-3)} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$$2x^2 - 2x + 12 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 - x + 6 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 1 - 24 = -23$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

6. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км

Пусть $$v_1$$ - скорость первого автомобиля, $$v_2$$ - скорость второго автомобиля. Пусть $$t_1$$ - время в пути первого автомобиля, $$t_2$$ - время в пути второго автомобиля. Расстояние между городами $$S = 50$$ км.

Из условия:

• $$v_1 = v_2 + 10$$
• $$t_2 = t_1 + 1$$
• $$S = v_1 t_1 = v_2 t_2 = 50$$

Выразим $$t_1$$ и $$t_2$$ через скорости:

$$t_1 = \frac{50}{v_1}, t_2 = \frac{50}{v_2}$$

Подставим в уравнение $$t_2 = t_1 + 1$$:

$$\frac{50}{v_2} = \frac{50}{v_1} + 1$$

Выразим $$v_1$$ через $$v_2$$: $$v_1 = v_2 + 10$$ и подставим в уравнение:

$$\frac{50}{v_2} = \frac{50}{v_2 + 10} + 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{50}{v_2} = \frac{50 + v_2 + 10}{v_2 + 10}$$

$$\frac{50}{v_2} = \frac{v_2 + 60}{v_2 + 10}$$

Перемножим крест-накрест:

$$50(v_2 + 10) = v_2(v_2 + 60)$$

$$50v_2 + 500 = v_2^2 + 60v_2$$

$$v_2^2 + 10v_2 - 500 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 cdot 1 cdot (-500) = 100 + 2000 = 2100$$

$$v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{2100}}{2} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{21}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{21}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$$v_2 = -5 + 5\sqrt{21} \approx -5 + 5 cdot 4.58 = -5 + 22.9 = 17.9 \text{ км/ч}$$

Тогда:

$$v_1 = v_2 + 10 = 17.9 + 10 = 27.9 \text{ км/ч}$$

Ответ: Скорость первого автомобиля $$v_1 \approx 27.9$$ км/ч, скорость второго автомобиля $$v_2 \approx 17.9$$ км/ч.