533. Решите уравнение: a) 14x² - 5x - 1 = 0; б) -y² + 3y + 5 = 0; в) 2x² + x + 67 = 0; г) 1 - 18р + 81p² = 0; д) -11у + y² - 152 = 0; e) 18 + 3x² - x = 0.

Решение:

a) 14x² - 5x - 1 = 0

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$$

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$$

б) -y² + 3y + 5 = 0

$$D = (3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 9 + 20 = 29$$

$$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + \sqrt{29}}{-2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$$

$$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 - \sqrt{29}}{-2} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$$

в) 2x² + x + 67 = 0

$$D = (1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535$$

D < 0, значит, уравнение не имеет корней.

г) 1 - 18р + 81p² = 0

$$81p² - 18р + 1 = 0$$

$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0$$

$$p = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$$

д) -11у + y² - 152 = 0

$$y² - 11у - 152 = 0$$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729$$

$$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$$

$$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

e) 18 + 3x² - x = 0

$$3x² - x + 18 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215$$

D < 0, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ:

a) $$x_1 = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = -\frac{1}{7}$$

б) $$y_1 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$$, $$y_2 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$$

в) уравнение не имеет корней.

г) $$p = \frac{1}{9}$$

д) $$y_1 = 19$$, $$y_2 = -8$$

e) уравнение не имеет корней.