1 Решите уравнение: a) 6x2 – x – 1 = 0; б) 36x2 – 49= 0; в) 7х2 = 42x; г) (x - 3)² - 2(x - 3) - 24 = 0.

Решим уравнения:

a) $$6x^2 - x - 1 = 0$$

Вычислим дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

б) $$36x^2 - 49 = 0$$

$$36x^2 = 49$$

$$x^2 = \frac{49}{36}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{49}{36}} = \pm \frac{7}{6}$$

$$x_1 = \frac{7}{6}; x_2 = -\frac{7}{6}$$

в) $$7x^2 = 42x$$

$$7x^2 - 42x = 0$$

$$7x(x - 6) = 0$$

$$x = 0$$ или $$x - 6 = 0$$

$$x_1 = 0; x_2 = 6$$

г) $$(x - 3)^2 - 2(x - 3) - 24 = 0$$

Сделаем замену переменной: $$t = x - 3$$

Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 24 = 0$$

Вычислим дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Вернемся к замене:

$$x - 3 = 6$$ или $$x - 3 = -4$$

$$x_1 = 9; x_2 = -1$$

Ответ: a) $$x_1 = 0.5; x_2 = -\frac{1}{3}$$, б) $$x_1 = \frac{7}{6}; x_2 = -\frac{7}{6}$$, в) $$x_1 = 0; x_2 = 6$$, г) $$x_1 = 9; x_2 = -1$$