45. Решите уравнение: a) (x + 4)² = 3x + 40; б) (2x – 3)² = 11x – 19; в) 3(x + 4)² = 10x + 32; г) 15x² + 17 = 15(x + 1)²; д) (x + 1)² = 7918 – 2x; e) (x + 2)² = 3131 – 2x; ж) (x + 1)² = (2x – 1)²; з) (x - 2)² + 48 = (2 - 3x)².

a) Решим уравнение:

\begin{aligned} (x + 4)^2 &= 3x + 40 \\ x^2 + 8x + 16 &= 3x + 40 \\ x^2 + 8x - 3x + 16 - 40 &= 0 \\ x^2 + 5x - 24 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{121} = 11 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_2 &= \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -8

---

б) Решим уравнение:

\begin{aligned} (2x - 3)^2 &= 11x - 19 \\ 4x^2 - 12x + 9 &= 11x - 19 \\ 4x^2 - 12x - 11x + 9 + 19 &= 0 \\ 4x^2 - 23x + 28 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{81} = 9 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-(-23) + 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4 \\ x_2 &= \frac{-(-23) - 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = 1.75 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 1.75

---

в) Решим уравнение:

\begin{aligned} 3(x + 4)^2 &= 10x + 32 \\ 3(x^2 + 8x + 16) &= 10x + 32 \\ 3x^2 + 24x + 48 &= 10x + 32 \\ 3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 &= 0 \\ 3x^2 + 14x + 16 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{4} = 2 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \\ x_2 &= \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \end{aligned}

Ответ: x₁ = -2, x_2 = -\frac{8}{3}

---

г) Решим уравнение:

\begin{aligned} 15x^2 + 17 &= 15(x + 1)^2 \\ 15x^2 + 17 &= 15(x^2 + 2x + 1) \\ 15x^2 + 17 &= 15x^2 + 30x + 15 \\ 15x^2 - 15x^2 - 30x + 17 - 15 &= 0 \\ -30x + 2 &= 0 \\ -30x &= -2 \\ x &= \frac{-2}{-30} \\ x &= \frac{1}{15} \end{aligned}

Ответ: x = \frac{1}{15}

---

д) Решим уравнение:

\begin{aligned} (x + 1)^2 &= 7918 - 2x \\ x^2 + 2x + 1 &= 7918 - 2x \\ x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 &= 0 \\ x^2 + 4x - 7917 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{31684} = 178 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-4 + 178}{2 \cdot 1} = \frac{174}{2} = 87 \\ x_2 &= \frac{-4 - 178}{2 \cdot 1} = \frac{-182}{2} = -91 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 87, x₂ = -91

---

e) Решим уравнение:

\begin{aligned} (x + 2)^2 &= 3131 - 2x \\ x^2 + 4x + 4 &= 3131 - 2x \\ x^2 + 4x + 2x + 4 - 3131 &= 0 \\ x^2 + 6x - 3127 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3127) = 36 + 12508 = 12544 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{12544} = 112 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-6 + 112}{2 \cdot 1} = \frac{106}{2} = 53 \\ x_2 &= \frac{-6 - 112}{2 \cdot 1} = \frac{-118}{2} = -59 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 53, x₂ = -59

---

ж) Решим уравнение:

\begin{aligned} (x + 1)^2 &= (2x - 1)^2 \\ x^2 + 2x + 1 &= 4x^2 - 4x + 1 \\ x^2 - 4x^2 + 2x + 4x + 1 - 1 &= 0 \\ -3x^2 + 6x &= 0 \\ -3x(x - 2) &= 0 \end{aligned}

Отсюда:

\begin{aligned} -3x &= 0 \Rightarrow x_1 = 0 \\ x - 2 &= 0 \Rightarrow x_2 = 2 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 2

---

з) Решим уравнение:

\begin{aligned} (x - 2)^2 + 48 &= (2 - 3x)^2 \\ x^2 - 4x + 4 + 48 &= 4 - 12x + 9x^2 \\ x^2 - 9x^2 - 4x + 12x + 52 - 4 &= 0 \\ -8x^2 + 8x + 48 &= 0 \\ -8(x^2 - x - 6) &= 0 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \end{aligned}

Найдем дискриминант:

\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \\ \sqrt{D} &= \sqrt{25} = 5 \end{aligned}

Найдем корни:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_2 &= \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \end{aligned}

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -2