Решите уравнение (x-2)⁴ – x² + 4x – 16 = 0

Решим уравнение $$(x-2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0$$.

Пусть $$t = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$. Тогда $$(x-2)^4 = t^2$$, а $$-x^2 + 4x = -x^2 + 4x - 4 + 4 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -t + 4$$.

Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - t + 4 - 16 = 0$$

$$t^2 - t - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$t$$.

$$D = (-1)^2 - 4 Imes 1 Imes (-12) = 1 + 48 = 49$$

$$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 Imes 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 Imes 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Теперь решим два уравнения:

1. $$t = 4$$: $$(x-2)^2 = 4$$$$\Rightarrow x-2 = 2$$ или $$x-2 = -2$$$$x_1 = 4, x_2 = 0$$
2. $$t = -3$$: $$(x-2)^2 = -3$$. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, уравнение имеет два решения: $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = 0$$.

Ответ: $$x_1 = 4$$, $$x_2 = 0$$