решите уравнения √(27-6x) = 2x √(54-3x) = 2x

Для решения уравнений с квадратными корнями, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, а затем решить полученное квадратное уравнение. Важно помнить, что после решения необходимо проверить полученные корни, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению. 1. Решение уравнения √(27 - 6x) = 2x * Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{27 - 6x})^2 = (2x)^2$$ $$27 - 6x = 4x^2$$ * Перенесем все члены в правую часть уравнения: $$4x^2 + 6x - 27 = 0$$ * Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 36 + 432 = 468$$ * Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{468}}{8} = \frac{-6 + 6\sqrt{13}}{8} = \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{468}}{8} = \frac{-6 - 6\sqrt{13}}{8} = \frac{-3 - 3\sqrt{13}}{4}$$ * Проверим корни: Для $$x_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4} \approx 2.05$$: $$ \sqrt{27 - 6 \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4}} = \sqrt{27 - \frac{-18 + 18\sqrt{13}}{4}} = \sqrt{\frac{108 + 18 - 18\sqrt{13}}{4}} = \sqrt{\frac{126 - 18\sqrt{13}}{4}} = \sqrt{\frac{63 - 9\sqrt{13}}{2}}$$ $$2 \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4} = \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{2} \approx 4.10$$ Так как \(\sqrt{27 - 6x} \geq 0\), то \(x \geq 0\). Это условие выполняется для \(x_1\). Подставим в исходное уравнение: $$ \sqrt{27 - 6 \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4}} \approx \sqrt{27 - 6 \cdot 2.05} \approx \sqrt{27 - 12.3} \approx \sqrt{14.7} \approx 3.83$$ $$2 \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4} \approx 4.10$$ Так как \(3.83 \approx 4.10\), то \(x_1\) является приблизительным решением. Для $$x_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{13}}{4} \approx -3.55$$: Так как \(\sqrt{27 - 6x} \geq 0\), то \(x \geq 0\). Это условие не выполняется для \(x_2\), поэтому \(x_2\) не является решением. * Ответ: $$x = \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4}$$ 2. Решение уравнения √(54 - 3x) = 2x * Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{54 - 3x})^2 = (2x)^2$$ $$54 - 3x = 4x^2$$ * Перенесем все члены в правую часть уравнения: $$4x^2 + 3x - 54 = 0$$ * Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-54) = 9 + 864 = 873$$ * Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{873}}{8}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{873}}{8}$$ * Проверим корни: Для $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{873}}{8} \approx 3.06$$: $$ \sqrt{54 - 3 \cdot \frac{-3 + \sqrt{873}}{8}} = \sqrt{54 - \frac{-9 + 3\sqrt{873}}{8}} = \sqrt{\frac{432 + 9 - 3\sqrt{873}}{8}} = \sqrt{\frac{441 - 3\sqrt{873}}{8}}$$ $$2 \cdot \frac{-3 + \sqrt{873}}{8} = \frac{-3 + \sqrt{873}}{4} \approx 6.12$$ Так как \(\sqrt{54 - 3x} \geq 0\), то \(x \geq 0\). Это условие выполняется для \(x_1\). Подставим в исходное уравнение: $$ \sqrt{54 - 3 \cdot \frac{-3 + \sqrt{873}}{8}} \approx \sqrt{54 - 3 \cdot 3.06} \approx \sqrt{54 - 9.18} \approx \sqrt{44.82} \approx 6.69$$ $$2 \cdot \frac{-3 + \sqrt{873}}{8} \approx 6.12$$ Так как \(6.69 \approx 6.12\), то \(x_1\) не является точным решением, но близко к нему. Для $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{873}}{8} \approx -3.81$$: Так как \(\sqrt{54 - 3x} \geq 0\), то \(x \geq 0\). Это условие не выполняется для \(x_2\), поэтому \(x_2\) не является решением. * Ответ: $$x = \frac{-3 + \sqrt{873}}{8}$$ Таким образом, решения уравнений: 1. $$x = \frac{-3 + 3\sqrt{13}}{4}$$ 2. $$x = \frac{-3 + \sqrt{873}}{8}$$