Решение уравнений

1) $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2};$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ и $$4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x-2)(x+2)$$.

$$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}+\frac{4(3+x)}{(x-2)(x+2)}$$

Приведем к общему знаменателю $$(x-2)(x+2)$$:

$$\frac{(x+2)^2 - x(x-4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)^2 + 4(3+x)}{(x-2)(x+2)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+2)$$, при условии, что $$x
eq 2$$ и $$x
eq -2$$:

$$(x+2)^2 - x(x-4) = (x-2)^2 + 4(3+x)$$ $$x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x = x^2 - 4x + 4 + 12 + 4x$$ $$8x + 4 = x^2 + 16$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Проверим корни. $$x
eq 2$$, следовательно, $$x_2 = 2$$ - посторонний корень.

Ответ: $$x = 6$$

2) $$1 + \frac{2}{x^2-1}=\frac{6}{x+1} \cdot \frac{3}{x-1};$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$.

$$1 + \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{18}{(x+1)(x-1)}$$

Приведем к общему знаменателю $$(x-1)(x+1)$$:

$$\frac{(x-1)(x+1) + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{18}{(x-1)(x+1)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-1)(x+1)$$, при условии, что $$x
eq 1$$ и $$x
eq -1$$:

$$(x-1)(x+1) + 2 = 18$$ $$x^2 - 1 + 2 = 18$$ $$x^2 + 1 = 18$$ $$x^2 = 17$$ $$x = \pm \sqrt{17}$$

Ответ: $$x = \pm \sqrt{17}$$

4) $$\frac{x+1}{x-2} - \frac{4}{\frac{x+1}{x-1} (x-1)(x-2)} = \frac{x-1}{x-2}.$$

Упростим знаменатель второй дроби:

$$\frac{x+1}{x-2} - \frac{4}{(x+1)(x-2)} = \frac{x-1}{x-2}$$

Приведем к общему знаменателю $$(x-2)$$:

$$\frac{(x+1)(x-2) - 4}{(x+1)(x-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-2)$$, при условии, что $$x
eq 2$$:

$$(x+1)(x-2) - 4 = (x-1)(x+1)$$ $$x^2 - 2x + x - 2 - 4 = x^2 -1$$ $$x^2 - x - 6 = x^2 -1$$ $$-x = 5$$ $$x = -5$$

Ответ: $$x = -5$$